هندسة اقلیدس

منشأ هندسه

واژة «ژئومتری» از دو واژه یونانی؛ ژئو، به معنی زمین، و متراین، به معنی اندازه‎گیری آمده است؛ هندسه در اصل علم اندازه‎گیری زمین بوده است. هرودت، مورخ یونانی (سدة پنجم قبل از میلاد)، پیدایش هندسه را به مساحان مصری نسبت می‎دهد. ولی تمدنهای کهن دیگر (بابلی، هندی، چینی) هم اطلاعات هندسی زیاد داشته‎اند.

هندسة پیشینیان در واقع گرد‎اوری از روشهای «قاعدة سرانگشتی» بود که از راه آزمایش. بررسی شباهتها، حدسها و شهودهای اتفافی، دست یافتن به آنها میسر شده بود. خلاصه، هندسه موضوعی تجربی بود که جوابهای تقریبی آن معمولاً برای مقاصد عملی کافی بودند. بابلیهای 2000 تا 1600 سال پیش از میلاد مسیح محیط دایره را 3 برابر قطرش می‎گرفتند. یعنی p را مساوی 3 اختیار می‎کردند. این همان مقداری است که ویتروویوس[1] معمار رومی به آن داده بود و در نوشته‎های چینی همان مقدار پیدا شده است. حتی یهودیان باستانی این مقدار را مقدس می‎شمردند و می‎پنداشتند که کتاب مقدس آن ار تثبیت کرده است (کتاب اول پادشاهان، باب هفتم، آیة بیست و سوم) و تلاش خاخام نهه میا[2] برای تبدیل  p به 7/22 به نتیجه نرسیده بود. مصریان سال 1800 پیش از میلاد، طبق پاپیروس رایند[3] مقداری تقریبی  p را چنین می‎گرفته‎‏اند:

[4]

حدسهای مصریان در پاره‎ای از موارد درست و در پاره‎ای دیگر نادرست بودند. یکی از کارهای برجستة آنان پیدا کردن دستور صحیح برای حجم هرم ناقص مربع القاعده بوده است. از سوی دیگر، چنین می‎‏پنداشتند که دستوری که برای مساحت مستطیل صحیح است برای هر چهار ضلعی نامشخص نیز می‎تواند صحیح باشد. هندسة مصری به معنی یونانی کلمه علم نبود، بلکه صرفاً انبانی بود پر از قواعد محاسبه، بی‎هیچ موجبی یا توجیهی.

بابلیان در حساب و جبر خیلی از مصریان پیشرفته‎تر بودند. وانگهی، قضیة فیثاغورس را – که در هر مثلث قائم الزاویه مربع طول وتر مساوی با مجموع مربعات طولهای دو ضلع دیگر است – خیلی پیش از آنکه فیثاغورس به دنیا بیاید می‎دانستند. تحقیات اخیر اتونویگه باوئر[5] تأثیر جبر بابلیان بر ریاضیات یونانی را که قبلاً نادانسته بود مکشوف ساخته است.

ولی یونانیان. و پیش از همه طالس ملطی،[6] اصرار می‎ورزیدند که احکام هندسی باید از راه استدلال قیاسی ثابت شوند نه از راه آزمایش و خطا. طالس با محاسبات قسمتی درست و قسمتی نادرست که از ریاضیات بابلی و مصری در دست بود آشنایی داشت. وی ضمن کوشش برای تمیز نتایج درست از نادرست، نخستین هندسة منطقی را بنیاد نهاد. (طالس به سبب پیشگویی خورشیدگرفتگی سال 585 پیش از میلاد نیز مشهور است). استخراج منظم قضایا از راه اثبات، از مشخصات ریاضیات یونانی و کاملا تازه بوده است.

نظام بخشی و تابع اصول سازی که با طالس آغاز شده بود، مدت دو سده توسط فیثاغورش و شاگردانش ادامه یافت. معاصران فیثاغورش در او به دیدة پیامبری دینی می‎نگریستند. او از پیروان خود یک «جمعیت برادری» تشکیل داد که آداب تهذیب و تزکیه‎ای خاص خود داشت، و پیرو عقاید گیاهخواری و اشتراک اموال بود. تمایز فیثاغورسیان از دیگر گروههای مذهبی در این بود که آنان اعتلای روح و یگانگی با خدا را از راه مطالعة موسیقی و ریاضی میسر می‎دانستند. در موسیقی، فیثاغورس نسبتهای صحیح فواصل هارمونیک را حساب کرد. در ریاضیات، خواص مرموز و شگفت‎انگیز اعداد را تعلیم می‎داد. کتاب هفتم اصول اقلیدس که کتابی در بارة نگرة اعداد است، در مکتب او آموخته می‎شد.

زمانی که فیثاغورسیان طولهای کنگ، نظیر  را کشف کردند به سختی یکی خوردند (¬فصل دوم صفحات 34-35). در ‎آغاز کوشیدند که این کشف را پوشیده نگاه دارند. پروکلوس[7] مورخ می‎نویسد: «هم می‎دانیم مردی که نخستین بار نگرة اعداد کنگ را آشکار ساخت هنگام غرق یک کشتی از میان رفت، تا چیزی که بیان نشدندی و تصور ناپذیر است برای همیشه پوشیده بماند». از آنجایی که فیثاغورسیان  را عدد نمی‎شمردند، جبر خود را به صورت هندسی درآوردند تا بتوانند  و طولهای کنگ دیگر را به توسط پاره خط (مثلاً  را با قطر مربعی به ضلع واحد) نشان دهند.

پی‎ریزی منظم هندسة مسطحه توسط مکتب فیثاغورش را بقراط ریاضیدان (با طبیبی به همین نام خلط نشود) در حدود سال 400 پیش از میلاد مسیح در کتاب اصول سروصورتی داد. با اینکه این کتاب گم شده است، می‎توانیم با اطمینان خاطر بگوییم که قسمت اعظم کتابهای اول تا چهارم اصول اقلیدس را، که یک سده بعد منتشر شده، دربرداشته است. فیثاغورسیان هرگز قادر نبودند نگرة تناسبهایی را که بر طولهای کنگ نیز جاری باشد بسط دهند. این کار بعداً توسط ائودوکسوس،[8] که نگر‎ه‎اش در کتاب پنجم اصول اقلیدس گنجانیده شده است، انجام گرفت.

سدة چهارم پیش از میلاد مسیح ناظر شکوفایی آکادمی علوم و فلسفة افلاطون (که در حدود سال 387 پیش از میلاد بنیاد نهاده شد) بود. افلاطون در کتاب جمهوری می‎نویسد: «مطالعة ریاضیات دستگاهی ذهنی را توسعه می‎دهد و به کار می‎اندازد که ارزش آن از هزار چشم بیشتر است، زیرا که درک حقیقت فقط از راه ریاضی میسر است». افلاطون می‎آموخت که جهان اندیشه مهمتر از جهان مادی حواس است. زیرا که این جهان سایة جهان اولی است. جهان مادی غاری است ناروشن که بر روی دیوارهای آن تنها سایه‎های جهان واقعی خارج را که به نور خورشید روشن شده است، می‎بینیم. خطاهای حواس باید از راه تمرکز فکر اصلاح شوند، که خود این تمرکز از راه مطالعة ریاضیات بهتر میسر می‎‏شود. روش سقراطی محاوره اصولا روش اثبات نامستقیم است، که با آن نشان داده می‎شود که حکم زمانی نادرست است که به تناقضی منجر شود. افلاطون کراراً اثبات کنگ بودن طول قطر مربعی به اضلاع واحد را به عنوان مثالی برای یک روش اثبات نامستقیم (()برهان خلف، فصل دوم، صفحات 23-35) آورده است. نکته اینجاست که این کنگ بودن طول هرگز نمی‎توانسته از راه‎ اندازه‎گیریهای عینی، که همیشه متضمن یک حاشیة کوچک تجربی خطاست، کشف شود.

اقلیدس شاگر مکتب افلاطون بود. در حدود 300 سال پیش از میلاد روش قاطع هندسة‌ یونانی و نگرة اعداد را در اصول سیزده جلدیش منتشر کرد. با تنظیم این شکاهار، اقلیدس تجربه و کارهای مهم پیشینیان خود در سده‎های جلوتر را گرد هم آورد: تجارب فیثاغورسیان را در کتابهای اول تا چهارم و هفتم و نهم؛ نتایج کارهای آرکیتاس[9] را در کتاب هشتم؛ کارهای ائودوکسوس را در کتابهای پنجم، ششم، دوازدهم، و کارهای تئه تتوس[10] را در کتابهای دهم و سیزدهم. کتاب اقلیدس چنان به طور کامل جانشین کوششهای پیشین در شناسانیدن هندسه شد که کمتر نشانه‎ای از آن کوششها به جا ماند. جای تأسف است که بازماندگان اقلیدس قادر نبودند حق تألیف کتاب او را گرد‎آوری کنند؛ چون نامبرده مؤلفی است که اثرش بیش از هرکسی در تاریخ بشریت خوانده شده است. روش او در هندسه متجاوز از دو هزار سال بر تعلیم این ماده مسلط بود. وانگهی، روش بنداشتی که اقلیدس به کاربرد الگویی است برای آنچه که ما امروز «ریاضیات محض[11]» می‎نامیم. «محض» به معنی «اندیشة محض» است: هیچ تجربة برای تحقیق درستی احکام لازم نیست – تنها باید مراقب استدلال در اثبات قضایا بود.

اصول اقلیدس از این حیث هم «محض» است که متضمن هیچ کاربرد علمی نیست؛ البته، هندسة اقلیدسی مورد استعمال بسیار در مسائل عملی مهندسی داشته است، ولی در اصول اشاره‎ای به آنها نشده است. در افسانه آمده است که یکی از آموزندگان مبتدی هندسه از اقلیدسی پرسید: «از آموختن این مطالب چه عاید من می‎شود؟» اقلیدس غلامش را خواند و گفت: «سکه‎ای به او بده، چون که می‎خواهد از آنچه که فرا می‎گیرد چیزی عایدش شود». این گونه تلقی از کاربرد ریاضیات در میان بسیاری از ریاضیدانان محض تا به امروز متداول مانده است – آنها ریاضیات را صرفاً برای خودش، و برای زیبایی و ظرفات ذاتیش فرا می‎گیرند.

چنانکه بعداً خواهیم دید، جای شگفتی است که ریاضیات محض اغلب کاربردهایی پیدا می‎کند که خالق آن هرگز خوابش را هم نمی‎دیده است – دورنمای «غیر عملی» ریاضیات محض، در نهایت، برای اجتماع مفید است. گذشته از آن، آن بخشهایی از ریاضیات هم که «کاربسته» نبوده‎اند برای اجتماع ارزش دارند، خواه به عنوان آثاری زیبا که با هنر و موسیقی قابل مقایسه‎اند و خواه از لحاظ سهم بزرگی که در بسط فهم و خود‎‏آگاهی انسان داشته‎اند.[12]

---

[1] -Vitruvius

[2] -Nebemiah

[3] -طوماری در مصر پیدا شده که از کهنترین استاد ریاضیات در مصر باستان است و در سال 1858 عتیقه فروش اسکاتلندی به نام الکساندر هنری رایند آن را خریداری کرد و از این رو به نام او مشهور شد – م.

[4] -در سالهای اخیر مقدار تقریبیp با تعداد ارقام اعشاری زیاد به توسط رایانه‎ها حساب شده است و اندازة آن تا پنج رقم اعشاری تقریب 14159ر3 است. در 1789 یوهان لامبرت ثابت کرد که p مساوی هیچ کسری (عدد گویا) نیست. و در 1822 لیندمان ثابت کرد که p عددی است غیر جبری. بدین معنی که در هیچ معادلة جبری با ضرایب گویا صدق نمی‎کند

[5] -Ctto Neugebauer

[6] -Milete

[7] -Proclus

[8] -Eudoxus

[9] -Archytas

[10] -Theaetetus

[11] -pure mathematics

[12] -برای کسب اطلاعات بیشتر در زمینة‌ ریاضیات قدیم به کتاب بارتل ون در وردن Bartel van der Waerden به نام Science Awakening (آکسفورد، یونیورسیتی، پرس – انتشارات دانشگاه آکسفورد – 1961) مراجعه کنید.

روش بنداشتی

روش بنداشتی[1]

ریاضیدانان برای کشف قضایا ممکن است از راههای آزمایش و خطا، محاسبة حالات ویژه، حدس در نتیجة الهام، و یا از هر راه دیگری استفاده کنند. روش بنداشتی روشی برای اثبات درستی نتایج است. برای برخی از نتایج مهم در ریاضیات اساساً تنها دلیلهای ناقص داده شده بوده است (خواهیم دید، که حتی اقلیدس هم در این زمینه مقصر بوده است). ولی مهم نیست، زیرا که دلیل درست، عاقبت (اغلب بسیار دیر) فراهم می‎شود و جهان ریاضی خشنود می‎گردد.

بنابراین، دلیلها به ما اطمینان می‎دهند که نتیجه‎ها درست هستند. در بسیاری از موارد این استدلالها نتایج کلیتری را عاید می‎کنند. مثلا، مصریان و هندیان به تجربه دریافته بودند که هرگاه اضلاع مثلثی 3 و 4 و 5 باشند، آن مثلث قائم الزاویه است. اما یونانیان ثابت کردند که اگر اضلاع a و b وc  از مثلثی چنان باشند که ، آنگاه مثلث قائم الزاویه است. برای کسب اطمینان از درستی این نتیجه لازم است بینهایت بار به آزمایش بپردازیم (و بعلاوه، آزمایشها تنها اندازة تقریبی اشیاء را به ما می‎‏دهند). بالاخره، استدلال بینشی شگرف از روابط بین اشیاء مختلفی که مطالعه می‎کنیم به ما می‎بخشد و ما را ملزم می‎سازد که اندیشه‎های خود را به گونه‎ای منسجم سازمان دهیم.

روش بنداشتی چیست؟ اگر بخواهم از راه استدلال محض شما را متقاعد سازم که حکم ₁S را بپذیرید، باید بتوانم نشان دهم که این حکم چگونه به طور منطقی از حکم دیگر ₂S، که  شما قبلاً آن را پذیرفته‎اید، نتیجه می‎شود. ولی اگر شما ₂S را قبول نداشته باشید، من باید نشان دهم که ₂S چگونه به طور منطقی از یک حکم دیگر ₃S نتیجه می‎شود. ممکن است لازم شود این عمل را چند بار تکرار کنم تا به حکمی برسم که شما آن را می‎‏پذیرید و احتیاجی به اثبات آن نیست. حکم اخیر نقش یک بنداشت (یا اصل موضوع) را ایفا می‎کند. اگر نتوانم به حکمی برسم که شما به عنوان مبنای استدلال من بپذیرید، دچار «تسلسل» خواهم شد، یعنی باید دلیل پشت دلیل بیاورم بی آنکه پایانی داشته باشد.[2]

پس باید دو شرط مسلم شوند تا درستی برهانی را بپذیریم:

شرط 1. پذیرفتن احکامی به نام «بنداشت» یا «اصل موضوع» که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشند.

شرط 2. توافق بر اینکه کی و چگونه حکمی «به طور منطقی» از حکم دیگر نتیجه می‎شود، یعنی توافق در برخی از قواعد استدلال.

کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بی‎نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دستچین کرد، و از آنها 465 گزاره نتیجه گرفت، که بسیاری از آنها پیچیده بودندو به طور شهودی بدیهی نبودند و تمام اطلاعات زمان او را دربرداشتند. یک دلیل بر زیبایی اصول اقلیدس این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفته است.

---

[1] -axiomatic method,

[2] -و یا ممکن است در مرحله‎ای از دلیل به همان گزاره‎ای که اثبات آن مورد نظر است بازگردیم، که در این صورت می‎گوییم دچار «دور» شده‎ایم. اصولاً در این گونه موارد به جای اینکه بگوییم دچار تسلسل می‎شویم بهتر است بگوییم دچار دور یا تسلسل می‎شویم-م.

زندگینامه ریاضیدانان بزرگ اقلیدس

تمرینهای اصلی

1-در این گروه از تمرینها می خواهیم حل چند مسئله اساسی اقلیدسی را از راه ترسیم با پرگار و ستاره از نظر بگذرانیم این گونه ترسیمها از دوران یونان قدیم تا سده نوزدهم که سرانجام همه مسائل ترسیمی کهن حل شدند ریاضیدانان را شیفته خود ساخته بودند .

(أ‌)     پاره خط AB داده شده است عمود منصف آن را رسم کنید .(راهنمایی : همان گونه که در شکل  نشان داده شده است AB را به صورت قطری از یک لوزی در آورید .

 (ب) خط l و یک نقطه P ناواقع برآن داده شده اند از P  خطی عمود بر l رسم کنید

(ج)خط l و یک نقطه P ناواقع بر آن داده شده اند . از P خطی رسم کنید که بر L عمود باشد . (راهنمایی :مثلث متساوی الساقین abp  را که قاعده  ab آن برi باشد بسازید و از (آ) استفاده کنید.)

(د) خط I و یک نقطه p ناواقع بر آن داده شده اند ازp   خطی به موازات I رسم کنید .(راهنمایی: از (ب) و (ج) استفاده کنید )

(ه) نیمساز یک زاویه را رسم کنید .(راهنمایی: از این قضیه اقلیدس که عمود منصف قاعده مثاث متساوی الساقین نیمساز زاویه روبرو به قاعده آن است استفاده کنید.)

(و) مثلث  abc و پاره خط  داده شده اند . در یک طرف مفروض  نقطه ای مانند f چنان پیدا کنید که   .

(ز) زاویه  و نیم خط  داده شده اند . نقطه ای مانند  f در یک طرف مفروض چنان پیدا کنید که  .

2. اقلیدس پر گار را فرو ریختنی ¹ فرض می کرد . یعنی اگر دو نقطه pوq داده شده باشد پرگار نمی تواند دا یره ای به مرکز p بکشد که بر q بگذرد ( اصل سوم ) : و لی ، نوک پرگار نمی تواند به مرکز دیگر o برده شود و داغ یرهخ ای با همان شعاع رسم کند . و قتی نوک پرگار حرکت داده شد، پرگار فرو می ریزد . ترسیمهای مربوط به تمرین 1 را بررسی کنید و ببنید که آیا می شود آنها را با پرگاری فرو ریختنی رسم کرد ؟ ( در این تمرینها و قتی می گو ئیم خطی (( داده شده )) است منظور این است که دو یا چند نقطه بر آن داده شده اند .)

(أ‌)               سه نقطه p، qوr داده شده اند با یک ستاره و یک پرگار فرو ریختنی مستطیل pqst به ضلع rq را چنان بکشید که :  (ش 2501) .

(ب‌)           پاره خط  و نیم خط داده شده اند . نقطه  c را بر پیدا کنید چنانچه .( راهنمایی: با استفاده از (آ) مستطیل  را بکشید ، سپس دا یره ای به مرکز a  رسم کنید چنانکه از s بگذرد.)

تمرین (ب) نشان می دهد که شما می توانید پاره خطها را با یک پرگار فرو ریختنی و یک ستاره انتقال دهید. پس  می توانید همه ترسیمها را چنانکه گو یی پرگار ((فرو ریختنی )) نیست انجام دهید .

3. خطکشی که در تمرینها پیشین به کار بردید نامدرج فرض شده بود ( اگر هم مدرج بود فرض این بود که مجاز نبو ده اید از درجه بندی استفاده کنید ). اما اکنون فرض می کنیم که بر این خط کش دو نشانه طوری گذاشته شده باشند که فا صله ای مانند d را مشخص سازند. ارشمیدس نشان داده است که چگونه می توانیم یک سوم زا ویه ای ر رسم کنیم:

اگر زا ویه ای به راس o داده شده باشد، یک دایره به شعاع d و به مرکز o رسم می کنیم تا اضلاع این زا ویه را در نقاط aوb ببرد. حال خطکش را چنان قرار می دهیم که یکی از نشانه های آن نقطه ای مانند c اتز خط را به دست دهد چنانکه o میان aو c قرار گیرد ، و نشانی دیگر در نقطه ای مانند d بر دایره واقع شود و در عین حال اکتداد خطکش از b بگذرد . ثابت کنید که بدین ترتیب به دست می آید یک سوم زا ویه است.(را هنمایی : از قضایای اقلیدس در باب زا ویه ای خارجی مثلث متساوی الساقین استفاده کنید.)

4. عدد را یو نانیان نسبت زرین می نامیدند ، و مستطیلی را که نسبت اضلاعش چنین بود مستطیل زرین می خواندند. ثابت کنید که مستطیل زرین را می توان با پرگار و ستاره با ترتیب زیر رسمکرد:

(أ‌)     رسم یک مربع abcd .

(ب‌)پیدا کرئن نقطه m وسط ab.

(ت‌)پیدا کردن نقطه e میان aو e باشد و .

(ث‌)پیدا کردن نقطه f پای عمود مرسوم از e بر dc.

(ج‌)  آنگاه aefd  مستطیل زرین است ( از قضیه فیثاغورس در  استفاده کنید.)

(ح‌)  بعلاوه befc مستطیل زرین دیگری است ( ابتدا نشان دهید p=p-1/1 ( .

حل دو تمرین بعدی مستلزم داشتن اطلاعاتی در زمیته مثلثات است.

5. مصریان می پنداشتند که هر گاه طواهای اضلاع یک چهار ضلعی a،b،cوd باشد ، مساحت آن ،s، از دستور (A+c)(b+d)/4 به دست می آید . ثابت کنید که د ر واقع   4s<(a+c)(b+d) و تساوی تنها زمانی بر قرار است که چهار ضلعی مستطیل با شد .( را هنمایی: دو برابر مساحت مثلث مساوی است با ، که در آن زاویه میان دو ضلع به طولهای aوb است و. در اینجا هم تساوی تنها زمانی بر قرار است که زا ویه قائمه باشد).

6. به گونه ای مشلبه ثابت کنید که هر گاه طولهای اضلاع مثلثی a، bو cباشند ، مساحت آن درنا برابری زیر صدق می کند:

تساوی تنها زمانی بر قرار می شود که مثلث متساوی الساقین الاضلاع باشد ( راهنمایی: هرگاه  یعنی زا ویه میان bوc چنان انتخاب شده باشد که حداکثر 60⁰ باشد، آنگاه لاز دستورهای زیرین استفاده کنید:

چهار تمرین زیر به پژوهش در کتابخانه نیاز دارد.چ

7. مقاله ای بنویسید و در آن بتفصیل بیان کنید که چرا تثلیت یک زاویه غیر مشخص یا تربیع دایره ، تنها با پرگار و ستاره غیر ممکن است (ایوز و کوتوزوف و مویر) .

8. اینک دو نتیجه مشهور دیگر از نگره ترسیمات هندسی:

(أ‌)     گ. موهر ¹ ریاضیدان دانمارکی و ل.ماسکرونی² ایتالیایی مستقل از یکدیگر کشف کردند که همه ترسیمهای نقاط در هندسی اقلیدسی را می توان با یک پرگار تنها انجام داد. البته خط را نمی توان تنها با پرگار رسم کرد ، ولی می توان آن را با پیدا کردن دو نقطه اش به وسیله پرگار مشخص نمود. بدین معنی ، موهر و ماسکرونی نشان دادند که ستاره مورد لزوم نیست.

(ب‌)از سوی دیگر ، ی.اشتاینر³ آلمانی و ژ.و.پونسله ⁴ فرانسوی نشان دادند که کلیه ترسیمهای اقلیدسی را می توان تنها با یک ستاره انجام داد مشروط  بر اینکه ابتدا یک دایره و مرکزش داده شده باشند .

گزارشی در باب این دو کشف جالب تهیه کنید(ایوز و کوتوزوف ).

9. مثلث غیر مشخص داده شده است . از راس هر زاویه دو نیمخط رسم کنید که آن زا ویه را به سه بخش کنند اگر p،qوr نقاط تقاطع نیم خطهای مجاور با شند ثابت کنید(قضیه مورلی )⁵ مثلثی است متساوی الاضلاع (ش 2301 و((مقدمه ای بر هندسه ))اثر کاکستر ).

10. این مسئله پژوهشی است که ممکن است جواب آن معلوم باشد، هر چند به آن

بر نخورده ام. آیا تعمیم زیبایی از قضیه مورلی برای مواردی که هر زاویه از مثلث به 4، 5

،6، ......جزء برابر بخش شود وجود دارد یا نه؟ اگر به جای مثلث شکل دیگری نظیر 4 ضلعی ، 5ضلعی ،6ضلعی وغیره داشته باشیم چطور؟