زندگینامه ریاضیدانان بزرگ اقلیدس

تمرینهای اصلی

1-در این گروه از تمرینها می خواهیم حل چند مسئله اساسی اقلیدسی را از راه ترسیم با پرگار و ستاره از نظر بگذرانیم این گونه ترسیمها از دوران یونان قدیم تا سده نوزدهم که سرانجام همه مسائل ترسیمی کهن حل شدند ریاضیدانان را شیفته خود ساخته بودند .

(أ‌)     پاره خط AB داده شده است عمود منصف آن را رسم کنید .(راهنمایی : همان گونه که در شکل  نشان داده شده است AB را به صورت قطری از یک لوزی در آورید .

 (ب) خط l و یک نقطه P ناواقع برآن داده شده اند از P  خطی عمود بر l رسم کنید

(ج)خط l و یک نقطه P ناواقع بر آن داده شده اند . از P خطی رسم کنید که بر L عمود باشد . (راهنمایی :مثلث متساوی الساقین abp  را که قاعده  ab آن برi باشد بسازید و از (آ) استفاده کنید.)

(د) خط I و یک نقطه p ناواقع بر آن داده شده اند ازp   خطی به موازات I رسم کنید .(راهنمایی: از (ب) و (ج) استفاده کنید )

(ه) نیمساز یک زاویه را رسم کنید .(راهنمایی: از این قضیه اقلیدس که عمود منصف قاعده مثاث متساوی الساقین نیمساز زاویه روبرو به قاعده آن است استفاده کنید.)

(و) مثلث  abc و پاره خط  داده شده اند . در یک طرف مفروض  نقطه ای مانند f چنان پیدا کنید که   .

(ز) زاویه  و نیم خط  داده شده اند . نقطه ای مانند  f در یک طرف مفروض چنان پیدا کنید که  .

2. اقلیدس پر گار را فرو ریختنی ¹ فرض می کرد . یعنی اگر دو نقطه pوq داده شده باشد پرگار نمی تواند دا یره ای به مرکز p بکشد که بر q بگذرد ( اصل سوم ) : و لی ، نوک پرگار نمی تواند به مرکز دیگر o برده شود و داغ یرهخ ای با همان شعاع رسم کند . و قتی نوک پرگار حرکت داده شد، پرگار فرو می ریزد . ترسیمهای مربوط به تمرین 1 را بررسی کنید و ببنید که آیا می شود آنها را با پرگاری فرو ریختنی رسم کرد ؟ ( در این تمرینها و قتی می گو ئیم خطی (( داده شده )) است منظور این است که دو یا چند نقطه بر آن داده شده اند .)

(أ‌)               سه نقطه p، qوr داده شده اند با یک ستاره و یک پرگار فرو ریختنی مستطیل pqst به ضلع rq را چنان بکشید که :  (ش 2501) .

(ب‌)           پاره خط  و نیم خط داده شده اند . نقطه  c را بر پیدا کنید چنانچه .( راهنمایی: با استفاده از (آ) مستطیل  را بکشید ، سپس دا یره ای به مرکز a  رسم کنید چنانکه از s بگذرد.)

تمرین (ب) نشان می دهد که شما می توانید پاره خطها را با یک پرگار فرو ریختنی و یک ستاره انتقال دهید. پس  می توانید همه ترسیمها را چنانکه گو یی پرگار ((فرو ریختنی )) نیست انجام دهید .

3. خطکشی که در تمرینها پیشین به کار بردید نامدرج فرض شده بود ( اگر هم مدرج بود فرض این بود که مجاز نبو ده اید از درجه بندی استفاده کنید ). اما اکنون فرض می کنیم که بر این خط کش دو نشانه طوری گذاشته شده باشند که فا صله ای مانند d را مشخص سازند. ارشمیدس نشان داده است که چگونه می توانیم یک سوم زا ویه ای ر رسم کنیم:

اگر زا ویه ای به راس o داده شده باشد، یک دایره به شعاع d و به مرکز o رسم می کنیم تا اضلاع این زا ویه را در نقاط aوb ببرد. حال خطکش را چنان قرار می دهیم که یکی از نشانه های آن نقطه ای مانند c اتز خط را به دست دهد چنانکه o میان aو c قرار گیرد ، و نشانی دیگر در نقطه ای مانند d بر دایره واقع شود و در عین حال اکتداد خطکش از b بگذرد . ثابت کنید که بدین ترتیب به دست می آید یک سوم زا ویه است.(را هنمایی : از قضایای اقلیدس در باب زا ویه ای خارجی مثلث متساوی الساقین استفاده کنید.)

4. عدد را یو نانیان نسبت زرین می نامیدند ، و مستطیلی را که نسبت اضلاعش چنین بود مستطیل زرین می خواندند. ثابت کنید که مستطیل زرین را می توان با پرگار و ستاره با ترتیب زیر رسمکرد:

(أ‌)     رسم یک مربع abcd .

(ب‌)پیدا کرئن نقطه m وسط ab.

(ت‌)پیدا کردن نقطه e میان aو e باشد و .

(ث‌)پیدا کردن نقطه f پای عمود مرسوم از e بر dc.

(ج‌)  آنگاه aefd  مستطیل زرین است ( از قضیه فیثاغورس در  استفاده کنید.)

(ح‌)  بعلاوه befc مستطیل زرین دیگری است ( ابتدا نشان دهید p=p-1/1 ( .

حل دو تمرین بعدی مستلزم داشتن اطلاعاتی در زمیته مثلثات است.

5. مصریان می پنداشتند که هر گاه طواهای اضلاع یک چهار ضلعی a،b،cوd باشد ، مساحت آن ،s، از دستور (A+c)(b+d)/4 به دست می آید . ثابت کنید که د ر واقع   4s<(a+c)(b+d) و تساوی تنها زمانی بر قرار است که چهار ضلعی مستطیل با شد .( را هنمایی: دو برابر مساحت مثلث مساوی است با ، که در آن زاویه میان دو ضلع به طولهای aوb است و. در اینجا هم تساوی تنها زمانی بر قرار است که زا ویه قائمه باشد).

6. به گونه ای مشلبه ثابت کنید که هر گاه طولهای اضلاع مثلثی a، bو cباشند ، مساحت آن درنا برابری زیر صدق می کند:

تساوی تنها زمانی بر قرار می شود که مثلث متساوی الساقین الاضلاع باشد ( راهنمایی: هرگاه  یعنی زا ویه میان bوc چنان انتخاب شده باشد که حداکثر 60⁰ باشد، آنگاه لاز دستورهای زیرین استفاده کنید:

چهار تمرین زیر به پژوهش در کتابخانه نیاز دارد.چ

7. مقاله ای بنویسید و در آن بتفصیل بیان کنید که چرا تثلیت یک زاویه غیر مشخص یا تربیع دایره ، تنها با پرگار و ستاره غیر ممکن است (ایوز و کوتوزوف و مویر) .

8. اینک دو نتیجه مشهور دیگر از نگره ترسیمات هندسی:

(أ‌)     گ. موهر ¹ ریاضیدان دانمارکی و ل.ماسکرونی² ایتالیایی مستقل از یکدیگر کشف کردند که همه ترسیمهای نقاط در هندسی اقلیدسی را می توان با یک پرگار تنها انجام داد. البته خط را نمی توان تنها با پرگار رسم کرد ، ولی می توان آن را با پیدا کردن دو نقطه اش به وسیله پرگار مشخص نمود. بدین معنی ، موهر و ماسکرونی نشان دادند که ستاره مورد لزوم نیست.

(ب‌)از سوی دیگر ، ی.اشتاینر³ آلمانی و ژ.و.پونسله ⁴ فرانسوی نشان دادند که کلیه ترسیمهای اقلیدسی را می توان تنها با یک ستاره انجام داد مشروط  بر اینکه ابتدا یک دایره و مرکزش داده شده باشند .

گزارشی در باب این دو کشف جالب تهیه کنید(ایوز و کوتوزوف ).

9. مثلث غیر مشخص داده شده است . از راس هر زاویه دو نیمخط رسم کنید که آن زا ویه را به سه بخش کنند اگر p،qوr نقاط تقاطع نیم خطهای مجاور با شند ثابت کنید(قضیه مورلی )⁵ مثلثی است متساوی الاضلاع (ش 2301 و((مقدمه ای بر هندسه ))اثر کاکستر ).

10. این مسئله پژوهشی است که ممکن است جواب آن معلوم باشد، هر چند به آن

بر نخورده ام. آیا تعمیم زیبایی از قضیه مورلی برای مواردی که هر زاویه از مثلث به 4، 5

،6، ......جزء برابر بخش شود وجود دارد یا نه؟ اگر به جای مثلث شکل دیگری نظیر 4 ضلعی ، 5ضلعی ،6ضلعی وغیره داشته باشیم چطور؟

زندگینامه ریاضیدانان بزرگ فیثاغورث

فیثاغورث

افکار فیثاغورث ریاضیدان و فیلسوف یونانی به شکل گیری ریاضیات نوین و فلسفه غرب کمک کرده است . هدف او توضیح همه پدیده های طبیعی بر اساس ریاضیات بود . فیثاغورث بیش از هر چیز برای فرمولی که در مورد نسبتهای اضلاع مثلث راست گوشه ارائه کرده است معروف است. مفاهیم متعدد دیگری (مانند تصاعدهای حسابی و هندسی و عددهای مربع کامل ) که برای ریاضیات نوین نقش زیر بنایی دارند بر افکار فیثاغورث مبتنی هستند . فیثاغورث و پیروان او ریاضیات هماهنگ ها را که مبنای موسیقی امروز غرب را تشکیل می دهد ابداع کردند.

حدود 580ق.م فیثاغورث در ساموس یونان به دنیا می آید.
حدود 532 ق.م برای فرار از حکومت جابر ساموس به جنوب ایتالیا سفر می کند.
حدود 525 ق.م یک آکادمی را در کروتون (که اکنون کروتونا نام دارد) تاسیس می کند . این آکادمی یک مدرسه و یک مکتب برادری مذهبی مبتنی بر اصول اخلاقی و فلسفی معینی است ، که در آن همه برادران می بایستی وفاداری و رازداری را رعایت کنند . در ریاضیات ،فیثاغورث و پیروان او با آرایشهای مختلف دسته هایی از ریگ آزمایش می کنند و در می یابند که دنباله های منظمی از اعداد پدید می آید. مثلاَ شکلهای مثلثی دنباله 10،6،3،1،... و شکلهای مربعی دنباله 16،9،4،1،... را ایجاد می کنند. کلمه calculate به معنی محاسبه (از calculus به معنی «سنگریزه» و نیز اصطلاح مربع (توان دوم) از این کاربرد ریگها اقتباس شده است . در هندسه ، آنها در می یابند که مجموع زوایای یک مثلث همیشه 180 درجه است.
آنها همچنین این قضیه معروف را ارائه می کنند که مربع وتر یک مثلث راست گوشه برابر مجموع مربهای دو ضلع دیگر ان است . در موسیقی ، فیثاغورث و پیروان او با آزمایش بر روی تارهای کشیده شده ریاضیات اکتاوها را ابداع می کنند (هرگاه طول تاری را نصف کنیم ، نتی را که یک اکتاو پایینتر است ایجاد می کند،) در اخترشناسی ، آنها این نظریه را مطرح می کنند که جهان کروی است و زمین نیز کره ای در مرکز آن است. خورشید به طور سالانه و روزانه به دور آسمان می چرخد ، و ماه و سیاره ها نیز به همین ترتیب رفتار می کنند. فیثاغورث در آسیای صغیر (ترکیه امروز) به سفرهای وسیعی می پردازد و در آنها با بعضی از ریاضیدانان و فیلسوفان برجسته ان زمان تبادل نظر می کند.
حدود 500ق.م در متاپونتوم (نزدیکی متاپونتوی امروز) در ایتالیا می میرد.

فیثاغورث (در یونانی Πυθαγορας) (زادهٔ حدود ۵۶۹ (پیش از میلاد) - درگذشتهٔ حدود ۴۹۶ (پیش از میلاد)). از فیلسوفان و ریاضیدانان یونان باستان بود. شهرت وی بیشتر بخاطر ارائه قضیهٔ فیثاغورث است. وی را یونانیان یکی از هفت فرزانه بشمار می‌آوردند.

زندگی

فیثاغورث در جزیره ساموس، نزدیک کرانه‌های ایونی، زاده شد. او در عهد قبل از ارشمیدس، زنون و اودوکس (۵۶۹ تا ۵۰۰ (پیش از میلاد)) می‌زیست.

او در جوانی به سفرهای زیادی رفت و این امکان را پیدا کرد تا با مصر، بابل و مغان ایرانی آشنا شود و دانش آنها را بیاموزد. به طوری که معروف است فیثاغورث، دانش مغان را آموخت. او روی هم رفته، ۲۲ سال در سرزمین‌های خارج از یونان بود و چون از سوی پولوکراتوس، شاه یونان، به آمازیس، فرعون مصر سفارش شده بود، توانست به سادگی به رازهای کاهنان مصری دست یابد. او مدتها در این کشور به سر برد و در خدمت کاهنان و روحانیون مصری به شاگردی پرداخت و آگاهی‌ها و باورهای بسیار کسب کرد واز آنجا روانه بابل شد و دوران شاگردی را از نو آغاز کرد.

وقتی او در حدود سال ۵۳۰، از مصر بازگشت، در زادگاه خود مکتب اخوتی ( که امروزه برچسب مکتب فیثاغورث بر ان خورده است ) را بنیان گذاشت که طرز فکر اشرافی داشت. هدف او از بنیان نهادن این مکتب این بود که بتواند مطالب عالی ریاضیات و مطالبی را تحت عنوان نظریه‌های فیزیکی و اخلاقی تدریس کند و پیشرفت دهد.

فیثاغورث نیز به مانند سقراط جانب احتیاط را نگاه داشت و چیزی ننوشت . تعالیم وی از طریق شاگردانش به دست ما رسیده است . اکنون روشن شده است که که شاگردان فیثاغورث ، باعث و بانی بخش اعظمی از لباس چهل تکه تفکر ، اداب و رسوم ، ریاضیات ، فلسفه و اندیشه های عجیب و غریبی هستند که در مکتب فیثاغورث موجود می باشد. در واقع ، قضیه ی مشهور فیثاغورث در باب مجذور وتر ، به احتمال قریب به یقین به دست خود فیثاقورث کشف نشده است ( این حرف بدین معناست که خود فیثاغورث هم قضیه فیثاغورث را نمیفهمید ، و این برای کسانی که ریاضیدان نیستند ، اسباب دلگرمی و امیدبخش است ! )

شیوه تفکر این مکتب با سنت قدیمی دموکراسی، که در آن زمان بر ساموس حاکم بود، متضاد بود. و چون این مشرب فلسفی با مذاق مردم ساموس خوش نیامد، فیثاغورث به ناچار، زادگاهش را ترک گفت و به سمت شبه جزیره آپتین (از سرزمینهای وابسته به یونان) رفت و در کراتون مقیم شد.

در افسانه‌ها چنین آمده است که متعصبان مذهبی و سیاسی، توده‌های مردم را علیه او شوراندند و به ازای نور هدایتی که وی راهنمای ایشان کرده بود مکتب و معبد او را آتش زدند و وی در میان شعله‌های آتش جان سپرد.

این جمله معروف را دوستدارانش در رثای او گفته‌اند: «Sic transit gloria mundi» یعنی «افتخارات جهان چنین می‌گذرند».

فیثاغورث و مسئلهٔ استدلال در ریاضیات

برای آنکه نقش فیثاغورث را در تبیین اصول ریاضیات درک کنیم، لازم است کمی درباره جایگاه ریاضیات در عصر وی و پیشرفتهایی که تا زمان وی صورت گرفته بود، بدانیم که این هم به نوبه خود، در خور توجه است. جالب است بدانید با اینکه مبنای ریاضیات بر «استدلال» استوار است، قبل از فیثاغورث هیچ کس نظر روشنی درباره این موضوع نداشت که استدلال باید مبنی بر مفروضات باشد. به عبارتی استدلال، مسئلهٔ تعریف شده‌ای نبود.

در واقع می‌توان گفت بنا به قول مشهور، فیثاغورث در بین اروپاییان اولین کسی بود که روی این نکته ا صرار ورزید که در هندسه باید ابتدا «اصول موضوع» و «اصول متعارفی» را معین کرد و آنگاه به اتکاء آنها که «مفروضات» هم نامیده می‌شوند، روش استنتاج متوالی را پیش گرفت به پیش رفت. از نظر تاریخی «اصول متعارفی» عبارت بود از «حقیقتی لازم و خود بخود واضح».