هندسة اقلیدس
منشأ هندسه
واژة «ژئومتری» از دو واژه یونانی؛ ژئو، به معنی زمین، و متراین، به معنی اندازهگیری آمده است؛ هندسه در اصل علم اندازهگیری زمین بوده است. هرودت، مورخ یونانی (سدة پنجم قبل از میلاد)، پیدایش هندسه را به مساحان مصری نسبت میدهد. ولی تمدنهای کهن دیگر (بابلی، هندی، چینی) هم اطلاعات هندسی زیاد داشتهاند.
هندسة پیشینیان در واقع گرداوری از روشهای «قاعدة سرانگشتی» بود که از راه آزمایش. بررسی شباهتها، حدسها و شهودهای اتفافی، دست یافتن به آنها میسر شده بود. خلاصه، هندسه موضوعی تجربی بود که جوابهای تقریبی آن معمولاً برای مقاصد عملی کافی بودند. بابلیهای 2000 تا 1600 سال پیش از میلاد مسیح محیط دایره را 3 برابر قطرش میگرفتند. یعنی p را مساوی 3 اختیار میکردند. این همان مقداری است که ویتروویوس[1] معمار رومی به آن داده بود و در نوشتههای چینی همان مقدار پیدا شده است. حتی یهودیان باستانی این مقدار را مقدس میشمردند و میپنداشتند که کتاب مقدس آن ار تثبیت کرده است (کتاب اول پادشاهان، باب هفتم، آیة بیست و سوم) و تلاش خاخام نهه میا[2] برای تبدیل p به 7/22 به نتیجه نرسیده بود. مصریان سال 1800 پیش از میلاد، طبق پاپیروس رایند[3] مقداری تقریبی p را چنین میگرفتهاند:
حدسهای مصریان در پارهای از موارد درست و در پارهای دیگر نادرست بودند. یکی از کارهای برجستة آنان پیدا کردن دستور صحیح برای حجم هرم ناقص مربع القاعده بوده است. از سوی دیگر، چنین میپنداشتند که دستوری که برای مساحت مستطیل صحیح است برای هر چهار ضلعی نامشخص نیز میتواند صحیح باشد. هندسة مصری به معنی یونانی کلمه علم نبود، بلکه صرفاً انبانی بود پر از قواعد محاسبه، بیهیچ موجبی یا توجیهی.
بابلیان در حساب و جبر خیلی از مصریان پیشرفتهتر بودند. وانگهی، قضیة فیثاغورس را – که در هر مثلث قائم الزاویه مربع طول وتر مساوی با مجموع مربعات طولهای دو ضلع دیگر است – خیلی پیش از آنکه فیثاغورس به دنیا بیاید میدانستند. تحقیات اخیر اتونویگه باوئر[5] تأثیر جبر بابلیان بر ریاضیات یونانی را که قبلاً نادانسته بود مکشوف ساخته است.
ولی یونانیان. و پیش از همه طالس ملطی،[6] اصرار میورزیدند که احکام هندسی باید از راه استدلال قیاسی ثابت شوند نه از راه آزمایش و خطا. طالس با محاسبات قسمتی درست و قسمتی نادرست که از ریاضیات بابلی و مصری در دست بود آشنایی داشت. وی ضمن کوشش برای تمیز نتایج درست از نادرست، نخستین هندسة منطقی را بنیاد نهاد. (طالس به سبب پیشگویی خورشیدگرفتگی سال 585 پیش از میلاد نیز مشهور است). استخراج منظم قضایا از راه اثبات، از مشخصات ریاضیات یونانی و کاملا تازه بوده است.
نظام بخشی و تابع اصول سازی که با طالس آغاز شده بود، مدت دو سده توسط فیثاغورش و شاگردانش ادامه یافت. معاصران فیثاغورش در او به دیدة پیامبری دینی مینگریستند. او از پیروان خود یک «جمعیت برادری» تشکیل داد که آداب تهذیب و تزکیهای خاص خود داشت، و پیرو عقاید گیاهخواری و اشتراک اموال بود. تمایز فیثاغورسیان از دیگر گروههای مذهبی در این بود که آنان اعتلای روح و یگانگی با خدا را از راه مطالعة موسیقی و ریاضی میسر میدانستند. در موسیقی، فیثاغورس نسبتهای صحیح فواصل هارمونیک را حساب کرد. در ریاضیات، خواص مرموز و شگفتانگیز اعداد را تعلیم میداد. کتاب هفتم اصول اقلیدس که کتابی در بارة نگرة اعداد است، در مکتب او آموخته میشد.
زمانی که فیثاغورسیان طولهای کنگ، نظیر 
را کشف کردند
به سختی یکی خوردند (¬فصل دوم صفحات 34-35). در آغاز کوشیدند که این کشف را پوشیده
نگاه دارند. پروکلوس[7] مورخ
مینویسد: «هم میدانیم مردی که نخستین بار نگرة اعداد کنگ را آشکار ساخت هنگام
غرق یک کشتی از میان رفت، تا چیزی که بیان نشدندی و تصور ناپذیر است برای همیشه
پوشیده بماند». از آنجایی که فیثاغورسیان را عدد
نمیشمردند، جبر خود را به صورت هندسی درآوردند تا بتوانند و طولهای کنگ
دیگر را به توسط پاره خط (مثلاً را با قطر
مربعی به ضلع واحد) نشان دهند.
پیریزی منظم هندسة مسطحه توسط مکتب فیثاغورش را بقراط ریاضیدان (با طبیبی به همین نام خلط نشود) در حدود سال 400 پیش از میلاد مسیح در کتاب اصول سروصورتی داد. با اینکه این کتاب گم شده است، میتوانیم با اطمینان خاطر بگوییم که قسمت اعظم کتابهای اول تا چهارم اصول اقلیدس را، که یک سده بعد منتشر شده، دربرداشته است. فیثاغورسیان هرگز قادر نبودند نگرة تناسبهایی را که بر طولهای کنگ نیز جاری باشد بسط دهند. این کار بعداً توسط ائودوکسوس،[8] که نگرهاش در کتاب پنجم اصول اقلیدس گنجانیده شده است، انجام گرفت.
سدة چهارم پیش از میلاد مسیح ناظر شکوفایی آکادمی علوم و فلسفة افلاطون (که در حدود سال 387 پیش از میلاد بنیاد نهاده شد) بود. افلاطون در کتاب جمهوری مینویسد: «مطالعة ریاضیات دستگاهی ذهنی را توسعه میدهد و به کار میاندازد که ارزش آن از هزار چشم بیشتر است، زیرا که درک حقیقت فقط از راه ریاضی میسر است». افلاطون میآموخت که جهان اندیشه مهمتر از جهان مادی حواس است. زیرا که این جهان سایة جهان اولی است. جهان مادی غاری است ناروشن که بر روی دیوارهای آن تنها سایههای جهان واقعی خارج را که به نور خورشید روشن شده است، میبینیم. خطاهای حواس باید از راه تمرکز فکر اصلاح شوند، که خود این تمرکز از راه مطالعة ریاضیات بهتر میسر میشود. روش سقراطی محاوره اصولا روش اثبات نامستقیم است، که با آن نشان داده میشود که حکم زمانی نادرست است که به تناقضی منجر شود. افلاطون کراراً اثبات کنگ بودن طول قطر مربعی به اضلاع واحد را به عنوان مثالی برای یک روش اثبات نامستقیم (()برهان خلف، فصل دوم، صفحات 23-35) آورده است. نکته اینجاست که این کنگ بودن طول هرگز نمیتوانسته از راه اندازهگیریهای عینی، که همیشه متضمن یک حاشیة کوچک تجربی خطاست، کشف شود.
اقلیدس شاگر مکتب افلاطون بود. در حدود 300 سال پیش از میلاد روش قاطع هندسة یونانی و نگرة اعداد را در اصول سیزده جلدیش منتشر کرد. با تنظیم این شکاهار، اقلیدس تجربه و کارهای مهم پیشینیان خود در سدههای جلوتر را گرد هم آورد: تجارب فیثاغورسیان را در کتابهای اول تا چهارم و هفتم و نهم؛ نتایج کارهای آرکیتاس[9] را در کتاب هشتم؛ کارهای ائودوکسوس را در کتابهای پنجم، ششم، دوازدهم، و کارهای تئه تتوس[10] را در کتابهای دهم و سیزدهم. کتاب اقلیدس چنان به طور کامل جانشین کوششهای پیشین در شناسانیدن هندسه شد که کمتر نشانهای از آن کوششها به جا ماند. جای تأسف است که بازماندگان اقلیدس قادر نبودند حق تألیف کتاب او را گردآوری کنند؛ چون نامبرده مؤلفی است که اثرش بیش از هرکسی در تاریخ بشریت خوانده شده است. روش او در هندسه متجاوز از دو هزار سال بر تعلیم این ماده مسلط بود. وانگهی، روش بنداشتی که اقلیدس به کاربرد الگویی است برای آنچه که ما امروز «ریاضیات محض[11]» مینامیم. «محض» به معنی «اندیشة محض» است: هیچ تجربة برای تحقیق درستی احکام لازم نیست – تنها باید مراقب استدلال در اثبات قضایا بود.
اصول اقلیدس از این حیث هم «محض» است که متضمن هیچ کاربرد علمی نیست؛ البته، هندسة اقلیدسی مورد استعمال بسیار در مسائل عملی مهندسی داشته است، ولی در اصول اشارهای به آنها نشده است. در افسانه آمده است که یکی از آموزندگان مبتدی هندسه از اقلیدسی پرسید: «از آموختن این مطالب چه عاید من میشود؟» اقلیدس غلامش را خواند و گفت: «سکهای به او بده، چون که میخواهد از آنچه که فرا میگیرد چیزی عایدش شود». این گونه تلقی از کاربرد ریاضیات در میان بسیاری از ریاضیدانان محض تا به امروز متداول مانده است – آنها ریاضیات را صرفاً برای خودش، و برای زیبایی و ظرفات ذاتیش فرا میگیرند.
چنانکه بعداً خواهیم دید، جای شگفتی است که ریاضیات محض اغلب کاربردهایی پیدا میکند که خالق آن هرگز خوابش را هم نمیدیده است – دورنمای «غیر عملی» ریاضیات محض، در نهایت، برای اجتماع مفید است. گذشته از آن، آن بخشهایی از ریاضیات هم که «کاربسته» نبودهاند برای اجتماع ارزش دارند، خواه به عنوان آثاری زیبا که با هنر و موسیقی قابل مقایسهاند و خواه از لحاظ سهم بزرگی که در بسط فهم و خودآگاهی انسان داشتهاند.[12]
[1] -Vitruvius
[2] -Nebemiah
[3] -طوماری در مصر پیدا شده که از کهنترین استاد ریاضیات در مصر باستان است و در سال 1858 عتیقه فروش اسکاتلندی به نام الکساندر هنری رایند آن را خریداری کرد و از این رو به نام او مشهور شد – م.
[4] -در سالهای اخیر مقدار تقریبیp با تعداد ارقام اعشاری زیاد به توسط رایانهها حساب شده است و اندازة آن تا پنج رقم اعشاری تقریب 14159ر3 است. در 1789 یوهان لامبرت ثابت کرد که p مساوی هیچ کسری (عدد گویا) نیست. و در 1822 لیندمان ثابت کرد که p عددی است غیر جبری. بدین معنی که در هیچ معادلة جبری با ضرایب گویا صدق نمیکند
[5] -Ctto Neugebauer
[6] -Milete
[7] -Proclus
[8] -Eudoxus
[9] -Archytas
[10] -Theaetetus
[11] -pure mathematics
[12] -برای کسب اطلاعات بیشتر در زمینة ریاضیات قدیم به کتاب بارتل ون در وردن Bartel van der Waerden به نام Science Awakening (آکسفورد، یونیورسیتی، پرس – انتشارات دانشگاه آکسفورد – 1961) مراجعه کنید.
