حساب دیفرانسیل و انتگرال چیست ؟

حساب دیفرانسیل

و

انتگرال چیست ؟

( بر گرفته از جلد دوم حساب

دیفرانسیل و انتگرال توماس )

حساب دیفرانسیل وانتگرال ریاضیات مربوط به حرکت و تغییر است .هر جا حرکت یا رشدی هست ، هر جا نیروهای متغیری در کار تولید شتاب اند ، حساب دیفرانسیل و انتگرال درست همان ریاضیاتی است که بکار می آید .

این امر در آغاز پیدایش این مبحث صادق بود ، و امروز نیز چنین است .حساب دیفرانسیل وانتگرال در آغاز برای برآورد ه کردن نیازهای دانشمندان قرن هفتم ابداع شد .حساب دیفرلنسیل با مسآله محاسبه آهنگهای تغییر سرو کارداشت و به دانشمندان امکان می داد شیب خم ها را تعریف کنند ، سرعت و شتاب اجسام متحرک را محاسبه کنند ، زاویه آتش باری توپ را برا ی حصول بیشترین برد بدست آوردند ، و زمانهایی را که سیارات نزدیکترین و دورترین فاصله را ازهم دارند ، پیش بینی کنند .

حساب انتگرال به مسآله تعیین تابع براساس اطلاع از آهنگ تغییرش می پرداخت و این امکان را فراهم می کرد که مکان آتی یک جسم را با توجه به مکان فعلی اش و نیروهای موثر برآن محاسبه کنند ، مسحت نواحی نامنظم واقع در صفحه را بیابند ، طول خمها را اندازه بگیرند و محل مرکز جرم هر جسم دلخواه را بدست آورند .

پیش از پیشرفتهای ریاضی که به کشف بزرگ ایزک نیوتن (1642- 1727) و بارون گوتفرید ویلیهم لایب نیتس (1646-1716) انجامید ، یوهانس کپلر منجم (1571-1630) با 20سال تفکر ، ثبت اطلاعات ، و انجام محاسبات ، سه قانون حرکت سیارات را که اکنون به نام او معرفند ، کشف کرد : هر سیاره در مداری بیضی شکل حرکت می کنند که یک کانونش در خورشید قراردارد .

بردار شعاعی ( یعنی خط واصل بین خورشید و سیاره ) درمدت های مساوی مساحات  مساوی را می روبد .مربع مدت گردش هر سیاره به دور خورشید متناسب است با مکعب فاصله نتوسط آن سیاره از خورشید (اگر T    مدت گردش سیاره به دور خورشید  و D   فاصله متوسط باشد ، نسبت D3 / T2   برای تمام سیاره های منظومه شمسی ثابت است .)

استنتاج قوانین کپلر از قوانین حرکت نیوتن با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال کار ساده ای است .

امروز حساب دیفرانسیل و انتگرال و تعمیمهای آن در آنالیز ریاضی قلمرو واقعاً گسترده ای دارند و فیزیکدانان ، ریاضیدانان ، و منجمانی که اول با این موضوع را ابداع کردند مسلماً شگفت زده و شادمان می شوند اگر می دیدند که این موضوع چه انبوهی از مسائل را حل می کند و چه رشته های متنو عی آن را برای مدلسازی ریاضی بکار می بردند و به فهم عالم و دنیای پیرامون ما کمک  می کنند.

امیدواریم شماهم دراین شگفت زدگی و لذت سهیم باشید .اقتصاددانان از حساب دیفرانسیل و انتگرال برای پیش بینی گرایش های کلی اقتصادی استفاده می کنند .اقیانوس شناسان از این حساب برای فرمول بندی نظریه هایی در باره جریانهای دریایی بهره می گیرنذ و هواشناسان آن را برای توصیف جریان هوای جو بکار می گیرند .زیست شناسان به کمک حساب دیفرانسیل و انتگرال میزان جمعیت را پیش بینی می کنند و تاثیر جانوران شکار گر مانند روباه با بر جمعیت جانوران شکار شونده تشریح می کنند .

پژوهشگران برای بازبینی اندامهای داخلی بدن طراحی میکنند و دانشمندان علوم فضائی آن را برای طراحی موشکها و کشف سیاره های دور دست بکار می گیرند . روانشناسان از حسا ب دیفرانسیل و انتگرال برای درک توهمات بصری استفاده می کنند و فیزیکدانان آن را برای طراحی سیستمهای ناو بری لخت و مطالعه ماهیت زمان و عالم بکار می برند .مهندسان هیدرولیک به کمک حساب دیفرانسیل و انتگرال الگوهای مطمئنی برای آب بندی شیرها در خطوط لوله می یابند ومهندسان برق با بکارگیری آن تجهیزات  استروبوسکوپی را طراحی و معادلات دیفرانسیلی را که توصیف کننده جریان الکتریکی در کامپیوترها هستند ، حل می کنند .

تولید کنندگان وسایل ورزشی برای طراحی راکتهای تنیس وبیس بال و تحلیل گران بازار سهام برای پیش بینی قیمتها و ارزیابی مخاطره نرخ بهره این حساب را بکار می گیرند و فیزیو لوژیست ها با استفاده از آن تکانه ها ( ایمپا لسها ) ی الکتریکی را در نورنهای دستگاه عصبی انسان توصیف می کنند .

شرکتهای دارویی برای تعیین میزان مناسب موجود ی دارو ، وتولید کنندگان الوار برای تعیین مناسب ترین زمان قطع درختان ، به کمک این حساب نیازمندند .این فهرست عملاً بی پایان است زیرا امروز حساب دیفرانسیل و انتگرال تقریباً درهر زمینه و حرفه ای به طریقی بکار می رود .

حساب دیفرانسیل و انتگرالی که امروز بکار می بریم از نظر تاریخی حاصل تلاسهای افراد بسیاری است .

ریشه های این حساب را تا هندسه کلاسیک یونانی می توان ارزیابی کرد ولی ابداع آن عمدتاً کار دانشمندان قرن هفتم است از میان این دانشمندان می توان رنه دکارت ( 1596-1650 ) بوناونتورا کاوالیری ( 1589-1647 ) پیر دو فرما ( 1601- 1665 ) جان والیس ( 1616- 1703 ) وجیمز گرگوری ( 1638- 1675) را نام برد .

این کار با ابداعات بزرگ نیوتن ولایب نیتس به اوج خود رسید ، آنان پیشگام بودند. پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال در طی قرن بعد با سرعت زیادی ادامه یافت و هرروز کاربردهای جدیدی برای آن در هندسه ، مکانیک ، مهندسی و نجوم پیدا        می شد .

در زمره مهمترین افرادی که در این زمینه سهم داشتند چندین نسل از برنولیها مخصوصاً یا کوب برنولی ( 1654- 1705) و برادرش یوهان برنولی ( 1677- 1748 ) بودند ( خانواده برنولی همان نقشی را در ریاضیات داشتند که خانواده باخ در موسیقی ) همچنین باید از لئونهارد اولیر (1707-1783 ) که با قدرت ابداع خارق العاده اش چهره اصلی ریاضیات در قرن هیجده ام بود ، یاد کرد و نیز از ژرف لوئی لا گرانژ ( 1736- 1813 ) و آدری ماری لژاندر ( 1752 –1833 ) و بسیاری دیگر .

تکمیل ساختار منطقی روشهای حساب دیفرانسیل و انتگرال را ریاضیدانان قرن نوزدهم از جمله برن هارد بو لتسانو ( 1781- 1848 ) ، آگوستین لوئی کوشی ( 1789- 1857 ) و کارل وایر شتراس ( 1815-1897 ) بر عهده گرفتند .

همچنین قرن نوزدهم شاهد دور شدیدی از تعمیم های جالب حساب دیفرانسیل و انتگرال و پیشرفتهای بزرگ ریاضیات در باره این حساب بود .جان فون نویمان (1903- 1957) یکی از ریا ضیدا نان بزرگ قرن بیستم نوشت :

« حساب دیفرانسیل و انتگرال نخستین دستاورد ریاضیات نوین است ودرک اهمیت آن کار آسانی نیست .به عقیده من این حساب روشن ترا ز هر مبحث دیگری مرحله آغازی ریاضیات نوین را توصیف می کند ، ونظام آنالیز ریاضی ، که توسیع منطقی آن است ، هنوز بزرگترین پیشرفت فنی در تفکر دقیق به شمار می آید .»