زندگینامه ریاضیدانان بزرگ اقلیدس

تمرینهای اصلی

1-در این گروه از تمرینها می خواهیم حل چند مسئله اساسی اقلیدسی را از راه ترسیم با پرگار و ستاره از نظر بگذرانیم این گونه ترسیمها از دوران یونان قدیم تا سده نوزدهم که سرانجام همه مسائل ترسیمی کهن حل شدند ریاضیدانان را شیفته خود ساخته بودند .

(أ‌)     پاره خط AB داده شده است عمود منصف آن را رسم کنید .(راهنمایی : همان گونه که در شکل  نشان داده شده است AB را به صورت قطری از یک لوزی در آورید .

 (ب) خط l و یک نقطه P ناواقع برآن داده شده اند از P  خطی عمود بر l رسم کنید

(ج)خط l و یک نقطه P ناواقع بر آن داده شده اند . از P خطی رسم کنید که بر L عمود باشد . (راهنمایی :مثلث متساوی الساقین abp  را که قاعده  ab آن برi باشد بسازید و از (آ) استفاده کنید.)

(د) خط I و یک نقطه p ناواقع بر آن داده شده اند ازp   خطی به موازات I رسم کنید .(راهنمایی: از (ب) و (ج) استفاده کنید )

(ه) نیمساز یک زاویه را رسم کنید .(راهنمایی: از این قضیه اقلیدس که عمود منصف قاعده مثاث متساوی الساقین نیمساز زاویه روبرو به قاعده آن است استفاده کنید.)

(و) مثلث  abc و پاره خط  داده شده اند . در یک طرف مفروض  نقطه ای مانند f چنان پیدا کنید که   .

(ز) زاویه  و نیم خط  داده شده اند . نقطه ای مانند  f در یک طرف مفروض چنان پیدا کنید که  .

2. اقلیدس پر گار را فرو ریختنی ¹ فرض می کرد . یعنی اگر دو نقطه pوq داده شده باشد پرگار نمی تواند دا یره ای به مرکز p بکشد که بر q بگذرد ( اصل سوم ) : و لی ، نوک پرگار نمی تواند به مرکز دیگر o برده شود و داغ یرهخ ای با همان شعاع رسم کند . و قتی نوک پرگار حرکت داده شد، پرگار فرو می ریزد . ترسیمهای مربوط به تمرین 1 را بررسی کنید و ببنید که آیا می شود آنها را با پرگاری فرو ریختنی رسم کرد ؟ ( در این تمرینها و قتی می گو ئیم خطی (( داده شده )) است منظور این است که دو یا چند نقطه بر آن داده شده اند .)

(أ‌)               سه نقطه p، qوr داده شده اند با یک ستاره و یک پرگار فرو ریختنی مستطیل pqst به ضلع rq را چنان بکشید که :  (ش 2501) .

(ب‌)           پاره خط  و نیم خط داده شده اند . نقطه  c را بر پیدا کنید چنانچه .( راهنمایی: با استفاده از (آ) مستطیل  را بکشید ، سپس دا یره ای به مرکز a  رسم کنید چنانکه از s بگذرد.)

تمرین (ب) نشان می دهد که شما می توانید پاره خطها را با یک پرگار فرو ریختنی و یک ستاره انتقال دهید. پس  می توانید همه ترسیمها را چنانکه گو یی پرگار ((فرو ریختنی )) نیست انجام دهید .

3. خطکشی که در تمرینها پیشین به کار بردید نامدرج فرض شده بود ( اگر هم مدرج بود فرض این بود که مجاز نبو ده اید از درجه بندی استفاده کنید ). اما اکنون فرض می کنیم که بر این خط کش دو نشانه طوری گذاشته شده باشند که فا صله ای مانند d را مشخص سازند. ارشمیدس نشان داده است که چگونه می توانیم یک سوم زا ویه ای ر رسم کنیم:

اگر زا ویه ای به راس o داده شده باشد، یک دایره به شعاع d و به مرکز o رسم می کنیم تا اضلاع این زا ویه را در نقاط aوb ببرد. حال خطکش را چنان قرار می دهیم که یکی از نشانه های آن نقطه ای مانند c اتز خط را به دست دهد چنانکه o میان aو c قرار گیرد ، و نشانی دیگر در نقطه ای مانند d بر دایره واقع شود و در عین حال اکتداد خطکش از b بگذرد . ثابت کنید که بدین ترتیب به دست می آید یک سوم زا ویه است.(را هنمایی : از قضایای اقلیدس در باب زا ویه ای خارجی مثلث متساوی الساقین استفاده کنید.)

4. عدد را یو نانیان نسبت زرین می نامیدند ، و مستطیلی را که نسبت اضلاعش چنین بود مستطیل زرین می خواندند. ثابت کنید که مستطیل زرین را می توان با پرگار و ستاره با ترتیب زیر رسمکرد:

(أ‌)     رسم یک مربع abcd .

(ب‌)پیدا کرئن نقطه m وسط ab.

(ت‌)پیدا کردن نقطه e میان aو e باشد و .

(ث‌)پیدا کردن نقطه f پای عمود مرسوم از e بر dc.

(ج‌)  آنگاه aefd  مستطیل زرین است ( از قضیه فیثاغورس در  استفاده کنید.)

(ح‌)  بعلاوه befc مستطیل زرین دیگری است ( ابتدا نشان دهید p=p-1/1 ( .

حل دو تمرین بعدی مستلزم داشتن اطلاعاتی در زمیته مثلثات است.

5. مصریان می پنداشتند که هر گاه طواهای اضلاع یک چهار ضلعی a،b،cوd باشد ، مساحت آن ،s، از دستور (A+c)(b+d)/4 به دست می آید . ثابت کنید که د ر واقع   4s<(a+c)(b+d) و تساوی تنها زمانی بر قرار است که چهار ضلعی مستطیل با شد .( را هنمایی: دو برابر مساحت مثلث مساوی است با ، که در آن زاویه میان دو ضلع به طولهای aوb است و. در اینجا هم تساوی تنها زمانی بر قرار است که زا ویه قائمه باشد).

6. به گونه ای مشلبه ثابت کنید که هر گاه طولهای اضلاع مثلثی a، bو cباشند ، مساحت آن درنا برابری زیر صدق می کند:

تساوی تنها زمانی بر قرار می شود که مثلث متساوی الساقین الاضلاع باشد ( راهنمایی: هرگاه  یعنی زا ویه میان bوc چنان انتخاب شده باشد که حداکثر 60⁰ باشد، آنگاه لاز دستورهای زیرین استفاده کنید:

چهار تمرین زیر به پژوهش در کتابخانه نیاز دارد.چ

7. مقاله ای بنویسید و در آن بتفصیل بیان کنید که چرا تثلیت یک زاویه غیر مشخص یا تربیع دایره ، تنها با پرگار و ستاره غیر ممکن است (ایوز و کوتوزوف و مویر) .

8. اینک دو نتیجه مشهور دیگر از نگره ترسیمات هندسی:

(أ‌)     گ. موهر ¹ ریاضیدان دانمارکی و ل.ماسکرونی² ایتالیایی مستقل از یکدیگر کشف کردند که همه ترسیمهای نقاط در هندسی اقلیدسی را می توان با یک پرگار تنها انجام داد. البته خط را نمی توان تنها با پرگار رسم کرد ، ولی می توان آن را با پیدا کردن دو نقطه اش به وسیله پرگار مشخص نمود. بدین معنی ، موهر و ماسکرونی نشان دادند که ستاره مورد لزوم نیست.

(ب‌)از سوی دیگر ، ی.اشتاینر³ آلمانی و ژ.و.پونسله ⁴ فرانسوی نشان دادند که کلیه ترسیمهای اقلیدسی را می توان تنها با یک ستاره انجام داد مشروط  بر اینکه ابتدا یک دایره و مرکزش داده شده باشند .

گزارشی در باب این دو کشف جالب تهیه کنید(ایوز و کوتوزوف ).

9. مثلث غیر مشخص داده شده است . از راس هر زاویه دو نیمخط رسم کنید که آن زا ویه را به سه بخش کنند اگر p،qوr نقاط تقاطع نیم خطهای مجاور با شند ثابت کنید(قضیه مورلی )⁵ مثلثی است متساوی الاضلاع (ش 2301 و((مقدمه ای بر هندسه ))اثر کاکستر ).

10. این مسئله پژوهشی است که ممکن است جواب آن معلوم باشد، هر چند به آن

بر نخورده ام. آیا تعمیم زیبایی از قضیه مورلی برای مواردی که هر زاویه از مثلث به 4، 5

،6، ......جزء برابر بخش شود وجود دارد یا نه؟ اگر به جای مثلث شکل دیگری نظیر 4 ضلعی ، 5ضلعی ،6ضلعی وغیره داشته باشیم چطور؟